Time and space adaptivity for the second-order wave equation

The aim of this paper is to show that, for a linear second-order hyperbolic equation discretized by the backward Euler scheme in time and continuous piecewise linear finite elements in space, the adaptation of the time steps can be combined with spatial mesh adaptivity in an optimal way. We derive a priori and a posteriori error estimates which admit, as much as it is possible, the decoupling of the errors committed in the temporal and spatial discretizations. Résumé: Le but de cet article est de montrer que, pour une équation hyperbolique modèle discrétisée par schéma d’Euler implicite en temps et éléments finis en espace, l’adaptativité des pas de temps peut se combiner avec l’adaptativité du maillage de façon optimale. Pour cela, nous prouvons des estimations d’erreur a priori et a posteriori permettant de découpler au maximum l’erreur issue de la discrétisation en temps et celle due à la discrétisation en espace.